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La quenine d'ordre n (naturel non nul,
c'est-à-dire entier strictement positif, et prenant une valeur
fixée) est l'application de n éléments ordonnés envoyant l'élément
de rang p au rang
2p si p £
n/2
2(n - p) + 1 si n/2 < p £ n
et telle que, si elle est
itérée,
-
on retrouve la disposition de départ pour la 1e fois
après n itérations
-
et chaque élément occupe chacun des n rangs 1, 1 seule fois.
Les valeurs de n pour lesquelles on peut construire une telle
permutation ont été appelées Nombres de Queneau. Voici les premières
valeurs de leur ensemble (infini) :
1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50,
51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 98, 99,105,.
Supposons un texte poétique dont les rimes devraient être maintenues
d’une strophe à l’autre, mais dans des emplacements modifiés.
Prenons par exemple une strophe de
11 vers ;
notons les rimes par les lettres d’alphabet E,S,A,R,T,U,L,I,N,O,C.
Si on admet que le rang des éléments apparaîtra de façon évidente,
en suivant l'ordre habituel, voyons ce que la définition précédente
fournira comme nouvelle disposition des rimes
L C
U
L On voit le L de rang
1 arriver
au rang 2
S O
I U On U
2 4
N R
E S
A T T qui était de rang 8 arrive au rang 2.(11
– 8 ) + 1
= 7
T I
R A
O N
C E
On peut
"itérer" le procédé, et on obtient la succession des colonnes de
rimes
L C E S O N R A T I
U L
U L C E S O N R A T I
et la dernière
colonne
U
S O N R A T I U L C E
redonnerait la colonne
S
I U L C E S O N R A T
de départ
I
N R A T I U L C E S
O N
E S O N R A T I U L
C E
A T I U L C E S O N
R A
T I U L C E S O N R
A T
R A T I U L C E S O
N R
O N R A T I U L C E
S O
C E S O N R A T I U
L C
Rem. on peut
interpréter l'ensemble des colonnes trouvées comme un "carré latin"
11 x 11
De l'examen de ce cas, on peut constater qu'un
élément donné occupera une, une seule fois, chacun des
11
rangs.
C'est cette propriété qui fait l'intérêt de la
quenine, qui est une des "permutations" de n objets qui y
parviennent donc.
[Un mot sur les "permutations" de n éléments :
leur nombre est n ! (lu "factorielle n ") dont la valeur est définie
par les lois
æ
0 ! = 1
è
et, pour tout n naturel non nul, n ! = (n -
1)
! . n
On écrit souvent, dans le cas où n >
1, n !
= 1.
... .n (le produit de tous les naturels consécutifs,
de 1
à n).]
Les "translations" d'un rang parviennent aussi à
ce qu'un élément donné occupe une, une seule fois, chacun des
11
rangs.
"Sautant" une colonne sur
deux, en itérant le procédé défini par la quenine, on obtient
encore un résultat analogue, etc.
La sextine est l'exemple historique
développé en littérature.
Si on ose travailler directement sur les rangs de
départ, et en adoptant la disposition en lignes et non plus en
colonnes, avec éventuellement des virgules, on a la succession
1 2 3 4 5 6
6 1 5 2 4 3
3 6 4 1 2
5
5 3 2 6 1 4
2 4 6 5 3 1
Pour n = 10, on n’a pas de telle quenine.
[Voyez par exemple que l'élément de rang 7 se retrouve en 2.(10
- 7) + 1 = 7 , ce qui est interdit dans ce genre de permutation.]
Mais il est possible de trouver des permutations
conduisant au résultat souhaité ; si elles sont construites à peu
près comme les quenines, on pourra les appeler
pseudo-quenines.
Pour La Vie mode d'emploi,
Perec a utilisé celle que voici (définie ici avec la disposition en
ligne)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 4 6 8 0 1 3 5 7 9
la loi qui la régit peut s'exprimer ainsi :
un élément de rang p est envoyé au rang p /
2 si p est pair
(11
+ p ) / 2 si p est impair
Perec dut contrôler qu'il retrouvait bien toutes
les propriétés attendues, et utilisa donc cette "pseudo-quenine
d'ordre 10 " pour créer les 20 bicarrés latins
supplémentaires.
[L’ Annexe 2 expliquera le procédé appliqué par
Perec.]
Annexe
2 Genèse des 21 bi-carrés, retenus
par Perec
C’est la
pseudo-quenine d’ordre 10, ou dizine, qui est
l’algorithme choisi par Perec.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 4 6 8 0 1 3 5 7 9
Il semble
acquis que le carré 1ab est le carré de départ.
Appliquons la pseudo-quenine aux lignes
du carré 1ab
Sa ligne 1 se retrouvera donc placée en 6e
ligne d’un futur nouveau carré.
Sa ligne 2 occupera la ligne 1 du nouveau carré.
La ligne 3 ira en ligne 7. La ligne 4 en 2.
La 5 ira en 8. La 6 ira
en 3. La 7 ira en 9. La 8 ira en 4. La 9 ira en 10.
La ligne 10 occupera la ligne
5 du nouveau carré obtenu.
Ce carré obtenu pourra être appelé 2ab,
car c’est effectivement celui que Perec a utilisé pour programmer
les éléments des contraintes 2a = 5 Nombre et 2b = 6 Rôle.
Si on prend ensuite l’image du 2ab, par le
même procédé, on obtient 3ab, c’est-à-dire le bicarré
utilisé pour le couple de contraintes (3a, 3b) = (Murs, Sols)la
succession des bicarrés obtenus en poursuivant le procédé est alors
(contrôlez-le !)
1ab
2ab 3ab 4ab 5ab 6ab
7ab 8ab 9ab 0ab
(et 0ab
redonnerait 1ab)
Si, de
manière analogue, on applique la dizine aux colonnes
du carré 1ab on obtient 1cd.
Et, en
poursuivant avec le même procédé, on aura la succession
1ab
1cd 2cd 3cd 4cd 5cd 7cd 8cd 9cd
0cd (0cd redonne 1ab)
Le
bicarré 6cd n’a pas été trouvé par ce procédé ! On peut le
trouver en appliquant la pseudo-quenine aux lignes de 0cd
Seul le
bicarré des contraintes de Couples, noté C dans le texte,
n’a pas été construit.
Aucune
composée des pseudo-quenines précédentes n’y parvient.
Si on ne veut pas le voir
tomber du ciel (mais pourquoi pas ?), on doit envisager de partir
d’autres permutations ; la plus simple qui convienne est
1
2 3 4 5 6 7 8 9 0
1
3 5 7 9 2 4 6 8 0
si je note r cette permutation appliquée
aux colonnes, et s la permutation des lignes selon le même
algorithme, j’obtiens C comme image du carré 9cd
par la composée de r et s .
On entrevoit qu’il y a un
très grand nombre de bicarrés possibles ; Perec n’en prit que 21.
C’est dans la
Deuxième Partie que, pour chacun des 99 chapitres,
successivement, nous reconstituerons les listes des 42 éléments
programmés, en utilisant les 21 bicarrés trouvés précédemment. |
